72. 编辑距离

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72. 编辑距离

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方案一: 动态规划

确定 Dp 数组含义

dp[i][j] 表示以下标 i-1 为结尾的字符串 word1，和以下标 j-1 为结尾的字符串 word2，最近编辑距离为 dp[i][j]

确定递推公式

在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1])  
    不操作  
if (word1[i - 1] != word2[j - 1])  
    增  
    删  
    换

也就是如上 4 种情况。

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

此时可能有同学有点不明白，为啥要即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 呢？

那么就在回顾上面讲过的 dp[i][j] 的定义，word1[i - 1] 与 word2[j - 1] 相等了，那么就不用编辑了，以下标 i-2 为结尾的字符串 word1 和以下标 j-2 为结尾的字符串 word2 的最近编辑距离 dp[i - 1][j - 1] 就是 dp[i][j] 了。

在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下 dp[i][j] 的定义，就明白了。

在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解 dp[i][j] 的定义！

if (word1[i - 1] != word2[j - 1])，此时就需要编辑了，如何编辑呢？

即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

这里有同学发现了，怎么都是删除元素，添加元素去哪了。

word2 添加一个元素，相当于 word1 删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1 删除元素 'd' 和 word2 添加一个元素 'd'，变成 word1="a", word2="ad"， 最终的操作数是一样！ dp 数组如下图所示意的：

            a                         a     d  
   +-----+-----+             +-----+-----+-----+  
   |  0  |  1  |             |  0  |  1  |  2  |  
   +-----+-----+   ===>      +-----+-----+-----+  
 a |  1  |  0  |           a |  1  |  0  |  1  |  
   +-----+-----+             +-----+-----+-----+  
 d |  2  |  1  |  
   +-----+-----+

操作三：替换元素，word1 替换 word1[i - 1]，使其与 word2[j - 1] 相同，此时不用增删加元素。

可以回顾一下，if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) 的时候我们的操作 是 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 对吧。

那么只需要一次替换的操作，就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 相同。

所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;

递归公式代码如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {  
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];  
}  
else {  
    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;  
}

初始化

再回顾一下 dp[i][j] 的定义：

dp[i][j] 表示以下标 i-1 为结尾的字符串 word1，和以下标 j-1 为结尾的字符串 word2，最近编辑距离为 dp[i][j]

那么 dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？

dp[i][0] ：以下标 i-1 为结尾的字符串 word1，和空字符串 word2，最近编辑距离为 dp[i][0]。

那么 dp[i][0] 就应该是 i，对 word1 里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;

同理 dp[0][j] = j;

所以 C++ 代码如下：

for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;

完整代码

const minDistance = (word1, word2) => {
    let dp = Array.from(Array(word1.length + 1), () => Array(word2.length+1).fill(0));

    for(let i = 1; i <= word1.length; i++) {
        dp[i][0] = i; 
    }

    for(let j = 1; j <= word2.length; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }

    for(let i = 1; i <= word1.length; i++) {
        for(let j = 1; j <= word2.length; j++) {
            if(word1[i-1] === word2[j-1]) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
            } else {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j] + 1, dp[i][j-1] + 1, dp[i-1][j-1] + 1);
            }
        }
    }
    
    return dp[word1.length][word2.length];
};